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在玩折纸中学会几何

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一、折纸与几何入门

  在你手头既没有圆规和刻度尺,又没有三角板和量角器等度量工具和作图工具的情况下,你能准确地比较两条线段的大小吗?能平分一个角吗?能检查两条相交直线垂直与否吗?……

  比较两条线段的大小,初一几何课本告诉我们有两种基本方法:一种是借助圆规进行图形的叠合,另一种是用刻度尺度量,比较数量的大小.其实,聪明人没有这些工具,也照样能解决这些问题.不是吗?当你还在幼儿园玩拆纸游戏时,就已经在探求解决这些问题的方法了.比如要折“猴婆婆”,老师指导你把一张长方形纸裁成一张正方形纸时,如图1,把长方形纸ABCD的AB边绕点A折叠到AD边上,然后再折叠BE,裁去多余的长方形BECD后,展开即为正方形纸.这样折纸,不正是比较线段大小的最好办法吗?我们把长方形纸的边分别看作线段,这时线段AB与AD的一个端点A重合,另一个端点B落在AD上,因此可知A(B)=AB,AD>AB;∠(B)AE与∠BAE重合,即AE平分∠BA(B);∠A(B)E与∠ABE重合,即∠ABE=∠A(B)E=90°,所以纸片A(B)EB是正方形.又如图2,把一张纸任意折叠一次后,再把折痕AB对折(即平分平角),这时两次折叠的折痕所成的∠COB为直角,利用它就可检查两条相交直线垂直与否,或检查一个角是锐角还是直角或钝角,或检查两个角互余、互补与否.

在玩折纸中学会几何


  初一几何课本第1页给出了一个五角星,我们可不用任何画图工具,只要一张纸(红纸更好)和一把剪刀,运用折纸办法,就能剪出一个漂亮的五角星,办法如下:取一张纸,先对折成如图3的A(B) EF,再沿OC将BE边折起,得∠BOC,大约使∠BOC=2∠AOB,然后将OC翻折到OB上(折痕OD是∠BOC平分线),再把∠AOB沿OB叠合到∠DOB上,如图 4;在OA上取一点M,在OB上取一点G,且使OG约等于QM的 2.6倍,最后沿MG直线将折叠成图4状的纸剪开,把剪得的△OMG展开,即成图5那样的五角星.只要经过几次尝试,你一定能熟练地剪出一个漂亮的五角星来.

在玩折纸中学会几何

在玩折纸中学会几何

   剪五角星的实质是运用折纸五等分平角,同时应用轴对称原理,使如图5中的∠FOA=∠AOK=∠KOE=∠EOP=∠POD=36°,达到∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA= 72°的目的.

  你若善于观察思考,将会发现,在儿时玩过的各种折纸游戏中,无不包含最基本的几何原理.反之,学习了几何知识,将会激发你设计创造出更多更新颖的折纸游戏.

  二、折纸与定理证明

  折纸既是一种有趣的游戏,更是一种探求几何图形性质的重要方法,特别对于三角形边角关系一类性质的证明,用这种方法真是妙不可言!

  1.等腰三角形性质的证明

  取一张等腰三角形纸片,如图1,把两腰AB、AC 折叠在一起.则∠B、∠C重合,即“等腰三角形的底角相等”;折痕AD分别把顶角A、平角BDC、底边BC分成相等的两部分.即折痕AD既是等腰三角形顶角平分线,又是底边上的高和中线.于是得等腰三角形“三线合一”的性质,并且折痕正是证明上述性质时所要添画的辅助线;若在折痕AD上取一点P,连结PB、PC,由于等腰三角形ABC沿AD折叠时,点B与点C重合,所以必有PB与PC重合,于是有“等腰三角形顶角平分线上的点到底边两端点的距离相等”的性质.类似地,可得等腰三角形两腰上的中线相等、底角平分线相等等一系列性质.

在玩折纸中学会几何


  2.“大角对大边”、“大边对大角”的证明

   如图2,取一张纸片△ABC(设AB>AC),把AC折叠在AB上,则∠C叠合到了∠AED的位置,有折痕AD、ED,由于∠AED是△BED的外角,故有∠AED>∠B,即∠C>∠B,于是有定理“一个三角形中,大边对大角”,并且折痕AD、ED正是证明该定理时所要添画的辅助线.

  如图3,纸片△ABC,设∠C>∠B,折叠纸片,使点B与点C重合,则∠B叠合到∠ECD的位置,有折痕ED、EC,可知EC=EB.在△AEC中,AE+ EC>AC,即AE+EB=AB>AC,故有定理“一个三角形中,大角对大边”.

  3.直角三角形性质的证明

  如图4,取一张直角三角形纸片,设∠C=90°.折叠纸片,分别使点A与点C重合,点B与点C重合,有折痕ED、FD、DC,易知∠A+∠B=90°,中,斜边上的中线等于斜边的一半”.

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  如图5,取边长为(a+b)的正方形纸片,将它的四个直角向形内折直角边长为a、=a2+b2,即“直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和”,这是勾股定理的最简证明.

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分类:纸艺知识 | 查看:2735次 | 发表时间:2011-03-01
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